RIpartiamo dall'ultima formula del post precedente...

                      (4)

Una rappresentazione simile viene comunemente chiamata Frazione Continua, è quindi una rappresentazione infinita di frazioni "una sotto l'altra". Da questa rappresentazione non è triviale dimostrare l'irrazionalità del numero φ, ma possiamo dire di crederci tutti, visto che la soluzione dell'equazione quadratica (1) è alla portata di chiunque abbia fatto la 2° superiore  in Italia o una qualsiasi scuola elementare all'estero

Da dove arriva (4)? Anche qui non ci sono magie di sorta, ma solo della semplice algebra.

Riscriviamo (1) nella sua forma più classica (e cioè con un "+" al fattore di primo grado

φ² = 1 + φ                                   (1a)

dividiamo tutto per φ (che sappiamo non essere 0) e ne segue che

φ = 1 + 1/φ                                  (5)

Ora, inventiamoci un valore per φ e creiamo una serie ricorsiva (x_n, x_n+1, x_n+2 ,...) Supponiamo che in questa serie l' "ennesimo" termine sia potenzialmente determinato dall' "ennesimo-meno-un" termine tramite (5) e cioè

                      (6)

ora con poca immaginazione continuiamo nella sostituzione

x_n+1 = 1 + 1 / x_n  =  1 + 1 / (1 + 1/x_n-1)   = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + x_n-2)) = ...

Per n sufficientemente grande, anze noi diciamo, per n che tende ad infinito, possiamo quindi immaginarci che (4) sia  vera


Basta per ora... la prossima disquizione tratterà di un poligono molto interessante, il pentagono e di come PHI c'entri con le misure e con la costruzione "alla greca"

A presto!